Решение задач

Матрицы

Задача 1. Для матрицы

найти присоединённую.

Решение. Присоединённой к квадратной матрице A называется матрица того же порядка, элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя матрицы , транспонированной относительно матрицы A.

 

Найдём матрицу , транспонированную относительно матрицы A:

Вычисляем элементы присоединённой матрицы:

Следовательно, матрица , присоединённая к матрице A, имеет вид

 

 

Задача 2. Найти матрицу АВ – 2ВА + 3Е , если

.

Шаг 1. Найдём произведение матриц А и В.  Для этого вычислим элементы матрицы АВ :

Итак,

Шаг 2. Найдём произведение матриц В и А . Для этого вычислим элементы матрицы ВА :

Итак,


Шаг 3. Найдём произведение матрицы ВА на число 2:

 

Шаг 4. Найдём произведение единичной матрицы третьего порядка (операции сложения и вычитания матриц имеют смысл только для матриц одного порядка) на число 3:

Шаг 5. Найдём АВ – 2ВА :

Шаг 6. Найдём АВ – 2ВА + 3Е :

 

Задача 3. Найти матрицу, обратную матрице

Шаг 1. Для нахождения обратной матрицы необходимо найти определитель матрицы А . Пользуясь правилом треугольников, найдём

 

Следовательно, матрица А – неособенная (невырожденная, несингулярная) и для неё существует обратная.

Шаг 2. Найдём матрицу , транспонированную относительно матрицы A:

Вычисляем элементы присоединённой матрицы:

Следовательно, матрица , присоединённая к матрице A, имеет вид

 

 

Шаг 3. Применяя формулу

,     

 

находим матрицу, обратную матрице А :