Ряды, часть 3

Функциональные ряды

Степенные ряды

Функциональные ряды

Формально записанное выражение

            (25)

где - последовательность функций от независимой переменной x, называется функциональным рядом.

Примерами функциональных рядов могут служить:

          (26)

                  (27)

Придавая независимой переменной x некоторое значение и подставляя его в функциональный ряд (25), получим числовой ряд

   

Если он сходится, то говорят, что функциональный ряд (25) сходится при ; если он расходится, что говорят, что ряд (25) расходится при .


Пример 13. Исследовать сходимость ряда (26) при значениях x = 1 и x = - 1.
Решение. При x = 1 получим числовой ряд

который сходится по признаку Лейбница (см. пример 11). При x = - 1 получим числовой ряд

который расходится как произведение расходящегося гармонического ряда на – 1. Итак, ряд (26) сходится при x = 1 и расходится при x = -1.


Если такую проверку на сходимость функционального ряда (1) осуществить относительно всех значений независимой переменной из области определения его членов, то точки этой области разобьются на два множества: при значениях x, взятых в одном из них, ряд (25) сходится, а в другом – расходится.

Множество значений независимой переменной, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.


Пример 14. Найти область сходимости ряда

Решение. Члены ряда определены на всей числовой прямой и образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = sin x. Поэтому ряд сходится, если

и расходится, если

(значения невозможны). Но при значениях и при остальных значениях x. Следовательно, ряд сходится при всех значениях x, кроме . Областью его сходимости служит вся числовая прямая, за исключением этих точек.


Пример 15. Найти область сходимости ряда

Решение. Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = ln x. Поэтому ряд сходится, если , или , откуда . Это и есть область сходимости данного ряда.


Пример 16. Исследовать сходимость ряда

Решение. Возьмём произвольное значение . При этом значении получим числовой ряд

              (*)

Найдём предел его общего члена

при :

Следовательно, ряд (*) расходится при произвольно выбранном, т.е. при любом значении x. Область его сходимости – пустое множество.


Степенные ряды

Среди функциональных рядов наиболее важное место занимают степенные ряды.

Степенным рядом называют ряд

члены которого – степенные функции, расположенные по возрастающим целым неотрицательным степеням x, а - постоянные величины. Числа - коэффициенты членов ряда, - свободный член. Члены степенного ряда определены на всей числовой прямой.

Примерами степенных рядов могут служить приведённые выше ряды (26) и (27).

Область сходимости функционального ряда может быть разнообразной по структуре и даже не содержать ни одной точки.

При подстановке в степенной ряд значения x = 0 получится числовой ряд

который сходится. Следовательно, при x = 0 сходится любой степенной ряд и, значит, область его сходимости не может быть пустым множеством. Структура области сходимости всех степенных рядов одинакова. Её можно установить с помощью следующей теоремы.


Теорема 1 (теорема Абеля). Если степенной ряд сходится при некотором значении , отличном от нуля, то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях .

Следствие. Если степенной ряд расходится при некотором значении , то он расходится и при всех значениях .


Как отмечалось выше, любой степенной ряд сходится при значении x = 0. Есть степенные ряды, которые сходятся только при x = 0 и расходятся при остальных значениях х. Исключая из рассмотрения этот случай, предположим, что степенной ряд сходится при некотором значении , отличном от нуля. Тогда, по теореме Абеля, он сходится во всех точках интервала , симметричного относительно начала координат. Если же степенной ряд расходится при некотором значении , то на основании следствия из теоремы Абеля он расходится и во всех точках вне отрезка . Отсюда следует, что для любого степенного ряда имеется интервал , симметричный относительно начала координат, называемый интервалом сходимости, в каждой точке которого ряд сходится, на границах может сходиться, а может и расходиться, при чем не обязательно одновременно, а вне отрезка  ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

В частных случаях интервал сходимости степенного ряда может вырождаться в точку (тогда ряд сходится только при x = 0 и считается, что R = 0) или представлять собой всю числовую прямую (тогда ряд сходится во всех точках числовой прямой и считается, что ).

Таким образом, определение области сходимости степенного ряда заключается в определении его радиуса сходимости R и исследовании сходимости ряда на границах интервала сходимости (при ).


Теорема 2. Если все коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля, то его радиус сходимости равен пределу при отношения абсолютных величин коэффициентов общего следующего за ним членов ряда, т.е..

                             (28)            


Пример 17. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Здесь

т.е.

Используя формулу (28), найдём радиус сходимости данного ряда:

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости . В примере 13 показано, что данный ряд сходится при x = 1 и расходится при x = -1. Следовательно, областью сходимости служит полуинтервал .


Пример 18. Найти область сходимости степенного ряда



Решение. Коэффициенты ряда положительны, причём

Имеем

Найдём предел этого отношения, т.е. радиус сходимости степенного ряда:

Исследуем сходимость ряда на концах интервала . Подстановка значений x = -1/5 и x = 1/5 в данный ряд даёт:

Первый из этих рядов сходится (см. пример 5). Но тогда в силу теоремы параграфа «Абсолютная сходимость» сходится и второй ряд, а область его сходимости – отрезок


Пример 19. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Здесь

По формуле (28) находим радиус сходимости ряда:

Исследуем сходимость ряда при значениях . Подставив их в данный ряд, соответственно получим

Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости (их общие члены не стремятся к нулю при ). Итак, на обоих концах интервала сходимости данный ряд расходится, а область его сходимости – интервал .        


Пример 20. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Здесь , а

Найдём отношение

Следовательно, радиус сходимости ряда

т.е. ряд сходится при любом конечном значении x. Область его сходимости – бесконечный интервал .


Пример 21. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Находимо отношение , где , а :

Согласно формуле (28) радиус сходимости данного ряда

т.е. ряд сходится только при x = 0 и расходится при остальных значениях х.


Примеры показывают, что на концах интервала сходимости ряды ведут себя различно. В примере 17 на одном конце интервала сходимости ряд сходится, а на другом – расходится, в примере 18 – на обоих концах сходится, в примере 19 – на обоих концах расходится.

Формула радиуса сходимости степенного ряда получена в предположении, что все коэффициенты членов ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля. Поэтому применение формулы (28) допустимо только в этих случаях. Если это условие нарушается, то радиус сходимости степенного ряда следует искать с помощью признака Даламбера, или же, сделав замену переменной, преобразованием ряда к виду, в котором указанное условие выполняется.


Пример 22. Найти интервал сходимости степенного ряда

Решение. Данный ряд не содержит членов с нечётными степенями х. Поэтому преобразуем ряд, полагая . Тогда получим ряд

для нахождения радиуса сходимости которого можно применить формулу (28). Так как , а , то радиус сходимости этого ряда

Из равенства получаем , следовательно, данный ряд сходится на интервале .