Определители

Понятие определителя n-го порядка

Вычисление определителей второго и третьего порядков

Вычисление определителей n-го порядка

Разложение определителя по строке или столбцу

Приведение определителя к треугольному виду

Свойства определителей n-го порядка

Понятие определителя n-го порядка

Пользуясь этой статьёй об определителях, вы обязательно научитесь решать задачи вроде следующей:

Решить уравнение:

и многих других, которые так любят придумывать преподаватели.

Определители играют важную роль в решении систем линейных уравнений. В общем-то определители и были придуманы для этой цели. Поэтому понять логику записи определителей легко по следующей схеме. Возьмём знакомую вам со школьной скамьи систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

В определителе последовательно записываются коэффициенты при неизвестных: в первой строке - из первого уравнения, во второй строке - из второго уравнения:

Например, если дана система уравнений

,

то из коэффициентов при неизвестных формируется следующий определитель:

Часто говорят также "определитель матрицы", поэтому сначала объясним, что такое матрица. Матрица - это прямоугольная таблица, составленная из чисел, которые нельзя менять местами. Квадратная матрица - таблица, у которой число строк и число столбцов одинаково. Определитель может быть только у квадратной матрицы.

Итак, пусть дана квадратная таблица, состоящая из чисел, расположенных в n строках (горизонтальных рядах) и в n столбцах (вертикальных рядах). С помощью этих чисел по некоторым правилам, которые мы изучим ниже, находят число, которое и называют определителем n-го порядка и обозначают следующим образом:

                    (1)

Числа называют элементами определителя (1) (первый индекс означает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, ..., n;  j = 1, 2, ..., n). Порядок определителя – это число его строк и столбцов.

Воображаемая прямая, соединяющая элементы определителя, у которых оба индекса одинаковы, т.е. элементы

называется главной диагональю, другая диагональ – побочной.

Вычисление определителей второго и третьего порядков

Покажем, как вычисляются определители первых трёх порядков.

Определитель первого порядка – это сам элемент т.е.


 .

Определитель второго порядка есть число, получаемое следующим образом:

                   (2)

где

и

- произведение элементов, стоящих соответственно на главной и на побочной диагоналях.

Важно

Равенство (2) показывает, что со своим знаком берётся произведение элементов главной диагонали, а с противоположным – произведение элементов побочной диагонали.

Пример 1. Вычислить определители второго порядка:

Решение. По формуле (2) находим:

 


Определитель третьего порядка – это число, получаемое так:

 (3)

Запомнить эту формулу трудно. Однако существует простое правило, называемое правилом треугольников, которое позволяет легко воспроизвести выражение (3). Обозначая элементы определителя точками, соединим отрезками прямой те из них, которые дают произведения элементов определителя (рис. 1).

Важно

Формула (3) показывает, что со своими знаками берутся произведения элементов главной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, основания которых ей параллельны; с противоположными – произведения элементов побочной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, которые ей параллельны.

На рис.1 главная диагональ и соответствующие ей основания треугольников и побочная диагональ и соответствующие ей основания треугольников выделены красным цветом.

Важно

При вычислении определителей очень важно, как и в средней школе, помнить, что число со знаком минус, умноженное на число со знаком минус, в результате даёт число со знаком плюс, а число со знаком плюс, умноженное на число со знаком минус, в результате даёт число со знаком минус.

Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка:

Решение. Пользуясь правилом треугольников, получим



Вычисление определителей n-го порядка

Разложение определителя по строке или столбцу

Для вычисления определителя n-го порядка необходимо знать и использовать следующую теорему.

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, т.е.

(i = 1, 2, ..., n)

Определение. Если в определителе n-го порядка выбрать произвольно pстрок и p столбцов (p < n), то элементы, находящиеся на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу порядка .

Определитель этой матрицы называется минором исходного определителя. Например, рассмотрим определитель :

Из строк и столбцов с чётными номерами построим матрицу:

Определитель

называется минором определителя . Получили минор второго порядка. Ясно, что из  
можно построить различные миноры первого, второго и третьего порядка.

Если взять элемент и вычеркнуть в определителе строку и столбец, на пересечении которых он стоит, то получим минор, называемый минором элемента , который обозначим через :

.

Если минор умножить на  , где 3 + 2 – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент то полученное произведение называется алгебраическим дополнением элемента и обозначается ,

т.е.

Вообще, минор элемента будем обозначать , а алгебраическое дополнение  ,

причём

                  (4)

Для примера вычислим алгебраические дополнения элементов и определителя третьего порядка :

По формуле (4) получим

 


При разложении определителя часто используется следующее свойство определителя n-го порядка: если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить произведение соответствующих элементов другой строки или столбца на постоянный множитель, то значение определителя не изменится.

Пример 3

здесь разложение проведено по элементам первой строки.


Пример 4.

Предварительно вычтем из первой и третьей строк элементы четвёртой строки, тогда будем иметь

 

В четвёртом столбце полученного определителя три элемента – нули. Поэтому выгоднее разложить этот определитель по элементам четвёртого столбца, так как три первых произведения будут нулями. Поэтому

А в следующем примере показано, как вычисление определителя любого (в данном случае - четвёртого) порядка можно свести к вычислению определителя второго порядка.

Пример 5. Вычислить определитель:

Вычтем из третьей строки элементы первой строки, а к элементам четвёртой строки прибавим элементы первой строки, тогда будем иметь

 

В первом столбце все элементы, кроме первого, - нули. То есть, определитель можно уже разложить по первому столбцу. Но нам очень не хочется вычислять определитель третьего порядка. Поэтому произведём ещё преобразования: к элементам третьей строки прибавим элементы второй строки, умноженные на 2, а из элементов четвёртой строки вычтем элементы второй строки. В результате определитель, являющийся алгебраическим дополнением, сам может быть разложен по первому столбцу и нам останется только вычислить определитель второго порядка и не запутаться в знаках:

Приведение определителя к треугольному виду

Определитель, где все элементы, лежащие по одну сторону одной из диагоналей, равны нулю, называется треугольным. Случай побочной диагонали путём изменения порядка строк или столбцов на обратный сводится к случаю главной диагонали. Такой определитель равен произведению элементов главной диагонали.

Для приведения к треугольному виду используется то же самое свойство определителя n-го порядка, которое мы применяли в предыдущем параграфе: если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить произведение соответствующих элементов другой строки или столбца на постоянный множитель, то значение определителя не изменится.

Пример 6. Вычислить определитель:

Произведём следующие преобразования. Вычтем из второй, третьей и четвёртой строк элементы первой строки. Получим определитель треугольного вида:

Этот определитель равен произведению элементов главной диагонали:

Свойства определителя n-го порядка

В двух предыдущих параграфах мы уже использовали одно из свойств определителя n-го порядка. В некоторых случаях для упрощения вычисления определителя можно пользоваться другими важнейшими свойствами определителя. Например, можно привести определитель к сумме двух определителей, из которых один или оба могут быть удобно разложены по какой-либо строке или столбцу. Случаев такого упрощения предостаточно и решать вопрос об использовании того или иного свойства определителя следует индивидуально.

Свойство 1. При замене строк столбцами (транспонировании) значение определителя не изменится, т.е.

Свойство 2. Если хотя бы один ряд (строка или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю. Доказательство очевидно.

В самом деле, тогда в каждом члене определителя один из множителей будет нуль.

Свойство 3. Если в определителе поменять местами два соседних параллельных ряда (строки или столбцы), то определитель поменяет знак на противоположный, т.е.

 

Свойство 4. Если в определителе имеются два одинаковых параллельных ряда, то определитель равен нулю:

Свойство 5. Если в определителе два параллельных ряда пропорциональны, то определитель равен нулю:

Свойство 6. Если все элементы определителя, стоящие в одном ряду, умножить на одно и то же число, то значение определителя изменится в это число раз:

Следствие. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда, можно вынести за знак определителя, например:

 

Свойство 7. Если в определителе все элементы одного ряда представлены в виде суммы двух слагаемых, то он равен сумме двух определителей:

Свойство 8. Если к элементам какого-либо ряда прибавить произведение соответствующих элементов параллельного ряда на постоянный множитель, то значение определителя не изменится:

Свойство 9. Если к элементам i-го ряда прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов нескольких параллельных рядов, то значение определителя не изменится:

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 8.


И на десерт - решение задачи, с которой начинается эта статья.

Пример 7. Решить уравнение:

Решение.

Шаг 1. Вычисляем определитель второго порядка, который находится в левой части уравнения. Элементы главной диагонали перемножаются, из этого произведения вычитается произведение элементов побочной диагонали:

Шаг 2. Вычисляем определитель третьего порядка, который образует правую часть уравнения. Делаем это по "правилу треугольников":

Приравниваем обе части, получаем уравнение и решаем его:


А для усвоения практического смысла составления матриц и определителей упомянём один из многочисленных примеров. Если три магазина одной сети продают три различных вида товаров, то отчёт о продажах за год можно представить в виде таблицы из трёх строк и трёх столбцов, содержащей некоторые числа. Первый индекс каждого числа - это номер магазина, а второй - номер вида товара. Впрочем, этот и другие примеры станут вам более понятны при решении систем линейных уравнений.

Продолжение темы "Линейная алгебра"

Матрицы

Системы линейных уравнений

Поделиться с друзьями